^ИС: Вопросы экономики
^ДТ: 19.01.2004
^НР: 001
^ЗГ: РОБЕРТ ЭНГЛ И КЛАЙВ ГРЕНДЖЕР: НОВЫЕ ОБЛАСТИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ.
^ТТ:

РОБЕРТ ЭНГЛ И КЛАЙВ ГРЕНДЖЕР: НОВЫЕ ОБЛАСТИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ.

(Нобелевская премия 2003 года по экономике)

Г. КАНТОРОВИЧ, кандидат физико-математических наук, профессор, проректор ГУ-ВШЭ, М. ТУРУНЦЕВА, научный сотрудник ИЭПП, преподаватель ГУ-ВШЭ

The Royal Swedish Academy of Sciences has decided that the Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel, 2003, is to be shared between Robert F. Engle, New York University, USA, "for methods of analyzing economic time series with time-varying volatility (ARCH)" and Clive W. J. Granger, University of California at San Diego, USA, "for methods of analyzing economic time series with common trends (cointegration)"

Нобелевская премия 2003 года в области экономики была присуждена Роберту Энглу из Нью-Йоркского университета (США) "за методы анализа временных рядов с изменяющейся во времени волатильностью (ARCH)" и Клайву Гренджеру из Калифорнийского университета (Сан-Диего, США) "за методы анализа временных рядов с общими трендами (коинтегрированных временных рядов)". Таким образом, вновь вслед за Рагнаром Фришем и Яном Тинбергеном (1969), Лоуренсом Клейном (1980), Трюгве Хаавельмо (1989), Джеймсом Хекманом и Даниэлом Мак Фадденом (2000). Нобелевской премией были отмечены достижения в области эконометрики. Новаторские идеи Энгла и Гренджера помогли преодолеть заметный кризис в макроэкономике и анализе финансовых рынков. Энгл предложил метод моделирования финансовых временных рядов, позволяющий учитывать их изменяющуюся во времени волатильностъ ('time-varying volatility), а Гренджер показал, что нестационарные случайные процессы могут образовывать стационарные линейные комбинации и ввел понятие коинтегрированных случайных процессов. Ценность их идей заключалась не только в том, что были предложены просто новые методы моделирования экономических зависимостей, а и в том, что предложенные модели открыли новые области исследований. При этом и Энгл, и Гренджер фундаментально обосновали применимость таких моделей, доказали корректность эконо-метрического оценивания их параметров в случаях нарушения ряда классических предпосылок. Немаловажен и тот факт, что каждый из предложенных методов подтвердил теоретические результаты. Так, многие макроэкономические модели предполагают наличие долгосрочных зависимостей между переменными, а нестационарность данных до идеи Гренджера обусловливала невозможность подобных долгосрочных взаимосвязей. Существовавшие до Энгла методы и модели описания финансовых временных рядов не могли отразить эмпирически отмечаемый факт кластеризации волатильности, когда периоды повышенной изменчивости показателя сменяются относительной стабильностью. И, наконец, ключевым является тот факт, что авторами были предложены работающие эконометрические методы оценивания новых моделей, то есть было показано, как новые методы могут быть использованы на практике.

Коинтегрированные случайные процессы

Временные ряды являются одним из наиболее распространенных инструментов эмпирического анализа взаимосвязей в экономике. Обычно они рассматриваются как реализации некоторых случайных процессов; их стандартная ("классическая") спецификация может быть записана как

[Формула]

Тем самым предполагается, что значение временного ряда в момент времени t представляет собой сумму предсказуемой части (прогноз yt в момент t-1 при условии наличия всей информации, имеющейся в данный момент времени) и непредсказуемой части (случайной ошибки Et). При этом Et считается последовательностью независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием (как безусловным, так и условным), постоянной и конечной дисперсией (как безусловной, так и условной) и нулевыми ковариациями между значениями, соответствующими различным моментам времени (так называемый белый шум).

Если безусловные математическое ожидание, дисперсии и ко-вариации процесса yt не зависят от времени и конечны (при этом ковариации могут зависеть от глубины запаздывания), то говорят, что уt является слабостационарным случайным процессом, характеризующимся тем, что влияние шока Et-s на значение уt в текущий момент времени убывает по мере удаления от момента, когда этот шок произошел, то есть с увеличением 5. В противном случае (если математическое ожидание, дисперсия или ковариации зависят от времени или бесконечны) случайный процесс называется нестационарным. Различают два основных типа нестационарных случайных процессов: стационарные около (детерминированного) тренда (trend stationary processes - процессы типа TS) и стационарные в разностях (difference stationary processes - процессы типа DS(1)). Основное различие между этими двумя типами случайных процессов состоит в том, что в первом случае (так же, как и в случае слабостационарных случайных процессов) влияние шоков является временным, а во втором - влияние шоков постоянно и не убывает в течение всего отрезка времени, следующего за ними, то есть можно сказать, что происходит "накопление" шоков(2).

Интегрированные случайные процессы кардинально отличаются от слабостационарных процессов или процессов, являющихся стационарными около тренда, не только по реакции на внешние шоки. Применение стандартных приемов регрессионного анализа к интегрированным переменным может привести к кажущимся или ложным регрессиям (spurious regression)(3).

Рассмотрим два процесса случайного блуждания (являющихся интегрированными первого порядка):

[Формула]

Из такого определения процессов yt xt следует, что не существует никакой статистической связи между ними. Тогда логично ожидать, что при оценивании регрессии [Формула] методом наименьших квадратов полученные оценки коэффициентов будут статистически незначимыми. Но как показали К. Гренджер и П. Ньюболд, может возникнуть ситуация, при которой коэффициент Бета окажется значимым, а коэффициент детерминации R2 довольно велик, что обычно трактуется как наличие значимой зависимости между рассматриваемыми процессами(4).

Отметим, что проблема появления кажущихся зависимостей возникла довольно давно. Одной из первых работ на эту тему была работа Дж. Юла, в которой было показано, что в ряде случаев коэффициент корреляции между двумя временными рядами оказывается очень высоким, хотя исходя из здравого смысла, очевидно, что никакой связи между данными рядами быть не должно(5). Пример, рассмотренный в этой работе, стал классическим: Юл вычислил коэффициент корреляции между показателем смертности на 1000 человек в Англии и пропорцией церковных браков на 1000 браков за период с 1866 по 1911 г., который оказался равным 0,9512(6).

Многочисленные исследования динамики экономических показателей свидетельствуют, что большинство из них приходится отнести к классу интегрированных процессов. Таким образом, к концу 1970-х годов возникло противоречие между экономической и эконометрической теориями. Экономическая теория предполагала и вроде бы показывала существование многочисленных взаимосвязей между экономическими показателями, в то время как эконометрическая теория демонстрировала, что любая из этих зависимостей может быть лишь результатом применения неадекватного метода оценивания модели(7). Более того, в рамках воззрений тех лет зависимость между интегрированными переменными не могла существовать. В то же время многие исследователи нередко избегали противоречий, включая в модели в качестве объясняющих переменных соотношения, которые позднее были названы коинтеграционными, то есть оценивая модели коррекции ошибками (error correction model(8)).

Отметим, что в настоящее время есть три стандартных способа решения проблемы нестационарности (интегрированности) временных рядов.1. Переход к разностям порядка, соответствующего порядку интегрированности временного ряда, и включение в оцениваемые регрессии не исходного ряда (или уровня), а его разности. Основным недостатком такого подхода является потеря информации о долгосрочном поведении, поскольку, например, первые разности отражают изменения, произошедшие с рассматриваемым показателем в течение одного периода, и показывают динамику только этих изменений, то есть краткосрочную динамику ряда.

2. Введение в модель детерминированного линейного тренда или более сложного тренда по сравнению с линейным, например, тренда со структурным сдвигом(9) (или несколькими структурными сдвигами), и тестирование ряда на предмет его принадлежности к типу случайных процессов, стационарных около (сегментированного) тренда. Основным недостатком данного подхода является проблема интерпретации включенного в модель тренда.

3. Оценивание моделей в разностях и одновременное включение в них коинтеграционных соотношений, если они существуют, что позволяет учитывать не только краткосрочные зависимости между показателями, но и долгосрочные взаимосвязи. Этот подход получил широкое распространение благодаря работе Гренджера, вышедшей в 1981 г.

Понятие коинтеграции заключается в следующем. Рассмотрим набор случайных процессов y1t, y2t, ..., ynt, которые являются интегрированными порядка d. Тогда данные случайные процессы называются коинтегрированными (обозначается: y1t, y2t, ..., ynt, ~ CI(d, b), b>0), если существует ненулевая линейная комбинация данных случайных процессов, являющаяся интегрированным процессом порядка d-b, то есть существует набор чисел [Формула], состоящий из n ненулевых элементов, такой что сумма [Формула] есть интегрированных порядка d-b процесс.

В силу свойств временных рядов особый интерес представляет случай, когда случайные процессы являются интегрированными первого порядка случайными процессами, поскольку здесь наличие ко-интеграционной связи между ними означает существование стационарной линейной комбинации данных случайных процессов, которая отражает их долгосрочную взаимосвязь и, очевидно, обладает всеми свойствами слабостационарных случайных процессов. Важнейшее свойство коинтегрированных случайных процессов - существование долгосрочного соотношения между ними, причем коэффициенты этого соотношения можно получить, применяя традиционный метод наименьших квадратов. Гренджер показал, что при наличии коинтеграции оценка коэффициента регрессии методом наименьших квадратов сходится (по вероятности) к истинному значению оцениваемого параметра. Поскольку скорость сходимости к истинному параметру для коинтегрированных процессов оказалась выше, чем для стационарных, это свойство было названо суперсостоятелъностъю оценки.

Необходимо отметить следующий принципиально важный момент, касающийся обоснованности экономической теорией понятия коинтеграции. Фактически Гренджер обосновал статистическую корректность макроэкономических моделей, которые содержат интегрированные случайные процессы в качестве переменных, и тем самым снял многочисленные вопросы, появившиеся после публикации работ, затрагивающих проблемы возникновения кажущихся регрессий. Еще задолго до того, как было введено понятие коинтеграции, экономисты использовали свойство коинтегрированности нестационарных случайных процессов при построении различных моделей. Так, А. Дитоном была предложена модель зависимости расходов на потребление от располагаемого дохода и инфляции для США(10). Автор моделировал зависимость первых разностей логарифма расходов на потребление от первых разностей логарифма располагаемых доходов (и их первых запаздываний), инфляции (и ее первого запаздывания), а также от однопериодного запаздывания разности между логарифмом расходов на потребление и логарифмом располагаемых доходов, неявно подразумевая, таким образом, наличие коинтеграционной связи между логарифмами показателей расходов на потребление и располагаемых доходов и оценивая модель коррекции ошибками.

Сегодня модели, включающие в качестве объясняющей переменной коинтеграционные соотношения, получили широкое распространение в эмпирических исследованиях. В частности, довольно много работ посвящено моделированию инфляции и спроса на деньги в экономиках различных стран(11), паритета покупательной способности(12) и других экономических показателей. В последние несколько лет появились работы по российской экономике, в которых, в частности, моделируются коинтегрированные многомерные временные ряды. Данный аппарат использовался при моделировании спроса на деньги(13), взаимосвязей между динамикой промышленного производства и реальным курсом рубля(14), при изучении взаимосвязей между отдельными показателями неплатежей(15) и во многих других случаях.

Оценка коинтеграционных соотношений

В настоящее время существует множество тестов, позволяющих выявить наличие коинтеграционных связей между случайными процессами и оценить коинтеграционные соотношения. Первую и наиболее простую процедуру тестирования на наличие коинтеграции предложили Энгл и Гренджер в совместной работе "Коинтеграция и коррекция ошибками. Представление, оценивание и проверка"(16). Подобная двух-шаговая процедура относится к так называемым методам тестирования на наличие коинтеграции на основе одного уравнения (single-equation methods) и в простейшем случае выглядит следующим образом.

Пусть xt и yt - интегрированные первого порядка случайные процессы. Если эти случайные процессы коинтегрированы, то существует линейная комбинация [Формула], являющаяся слабостационарным случайным процессом. Тогда для проверки наличия коинтеграции между этими двумя случайными процессами, являющимися интегрированными первого порядка, можно использовать следующую двухшаговую процедуру.

Шаг 1. На первом шаге необходимо оценить модель [Формула] оценки которой в случае наличия коинтеграционной связи между данными случайными процессами будут суперсостоятельными, и вычислить остатки этой модели Et как разницу между истинным значением у, и его оценкой Yt, полученной на основе оцененной модели.

Шаг 2. Если xt, yt, коинтегрированы, то [Формула] и тогда ряд остатков Et, также слабостационарен. Следовательно, на втором шаге нужно проверить ряд остатков оцененной модели на слабую стационарность, используя любой из известных тестов(17). Если ряд остатков окажется слабостационарным, то это обстоятельство говорит в пользу гипотезы о наличии коинтеграционной связи между xt и yt. В противном случае можно говорить о том, что xt и yt не коинтегрованы.

Отметим, что кроме теста Энгла-Гренджера, существует еще несколько тестов на наличие коинтеграции, основанные на оценке одного уравнения, на описании которых мы не будет останавливаться(18). Наиболее распространенным тестом на наличие коинтеграционных соотношений является тест, базирующийся на оценке модели векторной авторегрессии - тест Йохансена(19). Тест Йохансена позволяет оценить число коинтеграционных соотношений, если они существуют, и сами коинтеграционные соотношения, используя представление многомерного случайного процесса в виде модели векторной авторегрессии.

Дальнейшее развитие понятия коинтеграции

Введенное Гренджером понятие коинтеграции стало базовым в теории временных рядов. В настоящее время существует несколько основных направлений развития рассматриваемой области теории временных рядов, связанных со специфическими свойствами многомерных случайных процессов.

- в том случае если кроме случайных процессов типа I(1) или I(0) в модели включены процессы, являющиеся интегрированными второго порядка, применение большинства методов, разработанных для оценки коинтеграционных соотношений между интегрированными первого порядка случайными процессами, является некорректным. Ряд работ посвящен особенностям тестов на коинтеграцию (как на основе одного уравнения, так и на основе моделей векторной авторегрессии) для случая интегрированных второго порядка случайных процессов(20);

- случайные процессы могут быть сезонно коинтегрированы(21), что означает, что сами процессы, например, xt и yt, являются нестационарными, но их сезонные разности (например, для квартального временного ряда yt сезонной разностью является разность yt - yt4) - слабостационарные случайные процессы, при этом существует слабостационарная линейная комбинация этих рядов [Формула];

- еще одно направление в развитии понятия коинтеграции - моделирование коинтеграционных соотношений с учетом наличия возможных структурных сдвигов как в отдельных рядах, так и в самих коинтеграционных соотношениях(22).

Моделирование финансовых временных рядов

Эмпирические исследования свойств финансовых временных рядов показывают, что можно выделить несколько основных свойств, связанных с высокой частотностью временных рядов(23). В частности, принято считать, что доходность финансовых активов имеет непостоянный характер в том смысле, что большие отрицательные доходности имеют место чаще, чем большие положительные. Кроме того, нередко периодам с высокой волатильностью предшествуют сильные отрицательные шоки (так называемое свойство асимметричности), а периодам интенсивного движения финансовых временных рядов - периоды, в течение которых они практически не меняются (данное свойство называют кластеризацией волатилъности - volatility clustering). Помимо этого из результатов эмпирических исследований, вытекает предположение о нестационарности финансовых временных рядов.

Предложенные Энглом авторегрессионные модели с условной гетероскедастичностью(24), то есть с непостоянной во времени условной дисперсией(25), позволяют учитывать такие свойства финансовых временных рядов, как кластеризация волатильности и избыточность эксцесса, хотя и не решают других проблем, вытекающих из эмпирических свойств финансовых временных рядов.

Как уже отмечалось, основное предположение "классической" модели временного ряда гласит, что случайные ошибки модели Et являются белым шумом с нулевым безусловным (и условным) математическим ожиданием и конечными, не зависящими от времени безусловной (и условной) дисперсией [Формула] и ковариациями. Отличие авторегрессионных моделей с условной гетероскедастичностью заключается в том, что условная дисперсия случайной ошибки Et предполагается, изменяющейся во времени, то есть мы моделируем [Формула], где функция ht зависит от всей информации, которая имеется на момент времени t-1, то есть [Формула]. Таким образом, с одной стороны, предполагается, что ряд случайных ошибок Et обладает свойством условной гетероскедастичности, а с другой - что безусловная дисперсия не изменяется во времени (то есть гомоскедастична), при этом рассматриваемый тип моделей позволяет оценивать параметры и условного математического ожидания, и условной дисперсии.

Энгл предложил моделировать условную дисперсию случайной ошибки Et, разделяя ее на две части: постоянную, не меняющуюся во времени, и непостоянную во времени. Соответственно, согласно методу Энгла, модель ARCH(q) выглядит следующим образом:

[Формула] и информационное множество представляет собой множество остатков, вычисленных на основе оценки модели временных рядов [Формула], то есть [Формула]. При этом предполагается, что [Формула].

Иначе говоря, процедура, предложенная Робертом Энглом, заключается в том, что оценивается регрессия уt от некоторого набора объясняющих переменных (это могут быть запаздывания yt или любые экзогенные переменные, которые предположительно влияют на yt), и при этом квадраты остатков такой модели [Формула] моделируются как [Формула].

Воспользовавшись предложенным методом, Энгл оценил модель зависимости инфляции от реальной заработной платы с остатками в виде модели ARCH(4) на примере квартальных данных инфляции в Великобритании за период со II квартала 1958 г. по II квартал 1977 г., и показал, что прогнозы, полученные по данной модели, лучше по своим свойствам, чем прогнозы, получаемые по стандартной регрессионной модели, не учитывающей условную гетероскедастичность остатков. Таким образом, было показано, что, учитывая меняющуюся во времени условную дисперсию, можно значительно увеличить точность получаемых по модели прогнозов.

Помимо описанных нововведений Энгл предложил метод оценивания моделей ARCH(q) и показал, при каких условиях оценки метода максимального правдоподобия будут состоятельными и асимптотически нормальными, а также вывел достаточно простой тест, позволяющий проверить гипотезу о совпадении условной дисперсии случайных ошибок с безусловной, то есть гипотезу о совпадении модели ARCH с "классической" регрессионной моделью.

Модель, предложенная Энглом, стала фундаментом для развития направления анализа финансовых временных рядов, связанного с моделированием их временной структуры. Приведем в качестве примеров лишь некоторые основные расширения модели ARCH(q).

Обобщенные авторегрессионные модели с условной гетероскедастичностъю GARCH (p, q) (generalized autoregressive model with conditional heteroskedastisity). Т. Боллерслев предложил модели GARCH(p, q), которые фактически являются расширением модели ARCH(q) на случай, когда функцияht содержит авторегрессионные члены, то есть ht специфицируется как(26):

[Формула(27)]

Базовые модели GARCH позволяют моделировать динамику различных финансовых временных рядов при предположении, что и сама динамика, и условная дисперсия описываются некоторым авторегрессионным процессом и не зависят от влияния других показателей. Такие модели являются хорошим инструментом для проверки теоретических гипотез об эффективности финансовых рынков (в частности, слабой формы эффективности).

В настоящее время данные модели наиболее часто применяются в исследованиях фондового рынка. В частности, они хорошо подходят для описания динамики доходности акций, портфелей акций или доходности по фондовым индексам, а также позволяют моделировать, с одной стороны, динамику доходности и проверять гипотезы относительно влияния на нее тех или иных факторов, а с другой - динамику волатильности доходности. Дополнительное включение различных экзогенных переменных в уравнение доходности дает возможность, например, статистически проверить адекватность и равновесных теоретических моделей формирования цен на фондовые активы, и различных неравновесных многофакторных моделей. Дополнительное же включение различных экзогенных переменных в уравнение дисперсии позволяет проверить гипотезы о наличии влияния на волатильность доходности различных экзогенных факторов. Такие модели получили довольно широкое распространение в последнее десятилетие несмотря на фактическое отсутствие строгих теоретических оснований, объясняющих зависимость динамики волатильности доходности от внешних факторов.

Авторегрессионные модели с условной гетероскедастичностъю в среднем ARCH-M(q) (ARCH in mean models). Данный класс моделей хорошо подходит для изучения рынка ценных бумаг, точнее, для изучения зависимости доходности финансовых активов от возможно меняющихся во времени рисков их держания, которые измеряются при помощи условной дисперсии. Р. Энгл, Д. Лилиен и Р. Роберте допустили, что премия за риск не склонного к риску агента зависит от времени и является возрастающей функцией от условной дисперсии случайной ошибки модели и предложили включать в модель [Формула] помимо всех объясняющих переменных еще и ряд ht, который моделируется так же, как в модели ARCH(q)(28). То есть, чем больше условная дисперсия доходности, тем большая компенсация необходима для того, чтобы несклонные к риску агенты держали долгосрочные активы.

Нелинейные модели GARCH(p, q). Как отмечалось выше, доходности финансовых активов обладают свойством асимметричности: очень часто периодам высокой волатильности соответствующих показателей предшествуют большие отрицательные шоки. Основным недостатком GАRСН-моделей является то, что они не позволяют учитывать такую асимметрию в динамике показателей доходности, поскольку условная дисперсия зависит только от квадратов остатков (шоков), а, следовательно, и положительные, и отрицательные шоки имеют одинаковую величину и оказывают одинаковое влияние на условную дисперсию, моделирующую волатильность. Чтобы учесть это свойство финансовых временных рядов, были предложены различные нелинейные GАRСН-модели. Мы не будем останавливаться на перечислении и описании моделей этого класса, а лишь отметим, что довольно обширный обзор таких моделей приведен, например, в книге П. Франсеса и Д. ван Дайка, а также в статье Л. Хенцеля(29).

К настоящему времени модели, в основе которых фактически лежит идея, предложенная Энглом, широко используются при моделировании доходности и волатильности в экономиках как развитых, так и развивающихся стран. На эту тему написано множество статей и книг(30). В то же время в силу объективных причин анализу российского фондового рынка посвящено гораздо меньше работ. Отметим некоторые из них, где исследуется слабая форма эффективности российского рынка акций и степень его интеграции с рынками наиболее развитых стран (США, Великобритания, Германия)(31), анализируется влияние различных "новостей", цен на нефть и конъюнктуры на американском фондовом рынке на динамику российского рынка акций и облигаций(32, ) а также проводится анализ динамики доходности и волатильности российского рынка акций (РТС) в зависимости от ряда отечественных и зарубежных макроэкономических и финансовых показателей(33.)

Новые понятия, модели и методы оценивания, предложенные Гренджером и Энглом, позволили решить две принципиально важные проблемы эконометрического моделирования экономических процессов и взаимосвязей, стоявшие перед экономистами в течение многих лет. Предложенные модели, в основе которых лежат экономически обоснованные теоретические предпосылки, стали статистически обоснованными способами эконометрического моделирования нестационарных временных рядов и финансовых временных рядов. После появления их работ произошел бум в развитии теории коинтегрированных случайных процессов и возник широкий класс моделей, позволяющих учитывать специфические особенности финансовых временных рядов, в результате чего серьезно изменились сами принципы макроэкономических и финансовых исследований. В последнее время анализ нестационарных переменных и временных рядов с меняющейся волатильностью стал неотъемлемой составляющей в образовании современных экономистов(34). Кроме того, необходимо отметить, что довольно редко Нобелевская премия вручается так быстро после публикации первых результатов.

1 Процессы, являющиеся стационарными в разностях, имеют и другое название - интегрированные порядка d (обозначается: yt ~ I(d)). Данное понятие означает, что процесс yt является нестационарным, но его разность порядка d, то есть Дельта в степени d yt - слабостационарным случайным процессом. При этом все разности процесса yt порядка меньшего d являются нестационарными случайными процессами (см.: Granger С. Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric Model Specification. - Journal of Econometrics, 1981, vol. 16, p. 424 - 438). Кроме того, такие процессы также называют процессами, содержащими стохастический тренд.

2 Следствием такого "накопления" шоков выступает появление стохастического тренда, а также увеличение дисперсии случайного процесса во времени.

3 См., например: Granger С., Newbold P. Spurious Regression in Econometrics. - Journal of Econometrics, 1974 vol. 2, p. 111 - 120; Phillips P. Understanding Spurious Regression in Econometrics. - Journal of Econometrics, 1986, vol. 33, p. 311 - 340; Phillips P. Spurious Regression Unmasked, Cowles Foundation. Yale University, Discussion Papers No 1135, 1996; Entorf H. Random Walks with Drifts, Simultaneous Errors and Small Samples: Simulating the Bird's Eye View. Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques, 1992.

4 Granger C., Newbold P. Spurious Regression in Econometrics.

5 Yule G. Why Do We Sometimes Get Nonsense Correlation Between Time Series? A Study in Sampling and the Nature of Time Series. - Journal of Royal Statistical Society, 1926, vol. 89, p. 1-64.

6 Такие корреляции Юл назвал бессмысленными или абсурдными (nonsense correlation).

7 Проблеме идентификации типа случайного процесса, то есть отнесения его к классу DS или TS, посвящено множество работ. Одной из первых работ па эту тему была ставшая классической статья К. Нельсона и К. Плоссера, где авторы показали, что 13 из 14 основных макроэкономических рядов США являются нестационарными (Nelson С., Plosser С. Trends and Random Walks in Macroeconomics Time Series. - Journal of Monetary Economics, 1982, vol. 10, p. 139-162). Что касается проблемы определения порядка интегрированности российских временных рядов, то ей посвящена, например, работа: Энтов Р., Дробышевский В., Носко С., Юдин А. Экопометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей. М.: ИЭПП, 2001.

8 Термин "модель коррекции ошибками" (error correction model) был предложен в 1957 г. А. Филлипсом (Phillips A. Stabilization Policy and the Time Forms of Lagged Responses. - Economic Journal, 1957, vol. 67, p. 265 - 277).

9 Впервые такой подход был предложен Р. Перронном, который показал, что 10 из 13 рядов, рассмотренных в работе Нельсона и Плоссера (Nelson С., Plosser С. Trends and Random Walks in Macroeconomics Time Scries), являются стационарными около тренда со структурным сдвигом (Perron P. The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis. - Econometrica, 1989, vol. 57, p. 1361 - 1401). Впоследствии многие исследователи предлагали различные тесты на единичные корпи и структурные сдвиги (см., например: Banerjee A., Lumsdaine R., Stock J. Recursive and Sequential Tests of the Unit Root and Trend Break Hypotheses: Theory and International Evidence. - Journal of Business and Economic Statistics, 1992, vol. 10, p. 271-287; Vogelsang T. Wald-Type Tests for Detecting Breaks in the Trend Function of a Dynamic Time Scries. - Econometric Theory, 1997, vol. 13, p. 818-849; Zivot E., Andrews D. Further Evidence on the Great Crash, the Oil-Price Shock and Unit-Root Hypothesis. - Journal of Business and Economic Statistics, 1992, vol. 10, p. 251-270). Приложения некоторых тестов к исследованию российских временных рядов можно найти, например, в работах: Энтов Р., Дробышевский, В., Носко С., Юдин А. Экономстрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей; Энтов Р., Луговой О., Турунцева М. и др. Анализ некоторых проблем экономического роста российской переходной экономики. М.: ИЭПП, 2003.

10 Doaton A. Involuntary Saving Through Unanticipated Inflation. - American Economic Review, 1997, vol. 67, p. 899-910.

11 См., например: Johansen S. Testing Weak Exogeneity and the Order of Cointegration in UK Money Demand Data. - Journal of Policy Modeling, 1992, vol. 14, p. 313 - 334; Engsted T. Cointegration and Cagan's Model of Hyperinflation under Rational Expectations. - Journal of Money, Credit and Banking, 1993, vol. 25, p. 350 - 360; Engsted T. The Classic European Hyperinflations revisited: testing the Cagan's model using a cointegrated VAR approach. - Economica, 1994, vol. 61, p. 331-343.

12 См., например: Johansen S., Juselius K. Testing Structural Hypothesis in a Multivariatc Cointegration Analysis of the PPP and UIP for the UK. - Journal of Econometrics, 1992, vol. 53, p. 211-244.

13 См., например: Tullio G., Ivanova N. The Demand for Money and Currency Substitution in Russia during and after Hyperinflation: 1992 - 1996. - Экономический журнал ВШЭ, 1998, N 2; Дробышевский С., Козловская А. Внутренние аспекты денежно-кредитной политики России. М.: ИЭПП, 2002.

14 Конторович В. Взаимосвязь реального курса рубля и динамики промышленного производства в России. - Экономический журнал ВШЭ, 2001, N 3.

15 Мохтари М., Кейнер С., Конторович В. Экономический анализ неплатежей в России. - Экономический журнал ВШЭ, 2000, N 1.

16 Engle R., Granger С. Co-integration and Error-correction: Representation, Estimation and Testing. - Econometrica, 1987, vol. 55, p. 251 - 276.

17 Отметим, что поскольку ряд остатков Et вычисляется на основе оценок некоторой модели, критические значения, используемые для проверки гипотез о нестационарности остатков, могут быть смещены относительно критических значений, используемых в тестах на нестациоиарность. Например, Энгл и Гренджер показали, что в случае использования теста Дикки-Фуллера для проверки гипотезы о нестационарности ряда остатков модели (для случая двух случайных процессов) критические значения будут смещены влево относительно критических значений теста Дикки-Фуллера, и привели необходимые таблицы (см.: Engle R., Granger С. Co-integration and Error-correction: Representation, Estimation and Testing. - Econometrica, 1987, vol. 55, p. 251-276.). Аналогичные расчеты для случая, когда проверяется наличие коинтеграции между более чем двумя случайными процессами содержатся в: Engle R., Yoo В. Forecasting and Testing in Cointegrated Systems. - Journal of Econometrics, 1987, vol. 35, p. 143-159; Phillips P., Ouliaris S. Asymptotic Properties of Residual Based Tests for Cointegration. - Econometrica, 1990, vol. 58, p. 165 - 193.

18 Подробнее см.: Maddala G., In-Moo Kim. Unit Roots, Cointcgration and Structural Change. Cambridge University Press, 1998.

19 Johansen S. Statistical Analysis of Cointegration Vectors. - Journal of Economic Dynamics and Control, 1988, vol. 12, p. 231-254; Johansen S. Estimation and Hypothesis Testing of Cointcgration Vectors in Gaussian Vector Autoregrcssivc Models. - Economctrica, 1991, vol. 59, p. 1551-1580.

20 Подробнее см.: Maddala G., In-Moo Kim. Unit Roots, Cointegration, and Structural Change.

21 См., например: Hyllerberg S., Engle R., Granger C., Yoo B. Seasonal Cointegration. - Journal of Econometrics, 1990, vol. 44, p. 215 - 238; Lee H. Maximum Likelihood Inference and Cointcgration. - Journal of Econometrics, 1992, vol. 54, p. 1-47.

22 Подробнее см.: Maddala G., In-Moo Kim. Unit Roots, Cointegration, and Structural Change.

23 Довольно большой обзор свойств финансовых временных рядов и методов их моделирования представлен в: Franscs P., van Dijk D. Non-linear Time Scries Models in Empirical Finance. Cambridge University Press, 2000; Campbell J., Lo A., MacKinley A. The Econometrics of Financial Markets. Princeton University Press, 1997.

24 Engle R. Autoregressivc Conditional Hctcroskcdasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation. - Econometrica, 1982, vol. 50, p. 987 - 1007.

25 Условной дисперсией случайного процесса в момент времени t называется дисперсия этого случайного процесса, вычисленная в момент t-1 при условии наличия всей информации, имеющейся в данный момент времени.

26 Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. - Journal of Econometrics, 1986, vol. 31, p. 307 - 327.

27 Отметим, что в случае если все корни уравнения [Формула] по модулю превосходят единицу, то модель GARCH(p, q) эквивалентна модели ARCH(бесконечность).

28 Engle R., Lilien D., Robins R. Estimating Time-Varying Risk Promia in the Term Structure: The ARCH-M Model. - Econometrica, 1987, vol. 55, p. 391-407.

29 Franses P., van Dijk D. Non-linear Time Series Models in Empirical Finance; Hentschel L. All in the Family: Nesting Symmetric and Asymmetric GARCH Models. - Journal of Financial Economics, 1995, vol. 39, p. 139-164.

30 См., например: Cuthbertson К. Quantitative Financial Economics Stocks, Bonds and Foreign Exchange. John Wiley & Sons, 1996; Meggison W. Corporate Finance Theory. Addison-Weslcy Pub. Co, 1997.

31 См., например: Rockinger M., Urga G. A Time Varying Parameter Model to Test for Predictability and Integration in Stock Markets of Transition Economics. City University Business School, 1999; Hall G., Urga G. Testing for Time-Varying Stock Market Efficiency Using Russian Stock Prices. City University Business School, 2002.

32 См., например: Hayo В., Kutan A. The Impact of News, Oil Prices, and International Spillovers on Russian Financial Markets. Finance, Economics Working Paper (Finance 0209001), 2002.

33 Луговой О., Полевой Д. и др. Проблемы финансовых рынков в переходной экономике. М.: ИЭПП, 2003.

34 См., например: Канторович Г. Анализ временных рядов. - Экономический журнал ВШЭ, 2002, т. 6, N 1-4; 2003, т. 7, N 1

Hosted by uCoz